【数学の公式を覚えても解けない理由】使う条件・問題の型・最初の一手を身につける勉強法

「公式は覚えているのに、問題になると解けない」

「解説を読めば分かるが、自分では最初の式を作れない」

「例題と少し数字が変わるだけで、手が止まってしまう」

「数学は公式を暗記すればよいと思っていたが、点数が上がらない」

このように悩んでいる中学生・高校生は少なくありません。

数学では、

• 公式を覚える
• 解き方を覚える
• 問題集を何周もする

ことが大切だと言われます。

しかし、公式を正確に覚えていても、問題を解けないことがあります。

その理由は、数学の問題を解くためには、公式の暗記だけでなく、

問題の状況を理解する
↓
何を求めるか確認する
↓
使える条件を見つける
↓
適切な公式・解法を選ぶ
↓
式へ変換する
↓
計算する

という判断が必要だからです。

公式は、料理でいえば調理器具です。

包丁の名前や使い方を覚えていても、

• どの材料に使うか
• 何を作るのか
• どの順番で使うのか

が分からなければ料理は完成しません。

数学も同じです。

公式を覚えることは、問題を解くための道具を持つこと。実際に解くには、どの道具をいつ使うか判断する必要があります。

学習塾フィンランドでは、数学を次の順番で考えます。

何を求める問題か
↓
どの条件が与えられているか
↓
どの単元・型に当てはまるか
↓
使う公式・考え方は何か
↓
最初に何を書くか

大切なのは、公式を増やすことではありません。

問題を見たときに、使う公式と最初の一手を選べるようにすること

です。

数学の公式を覚えても解けないとき

公式を「形」で覚えるのではなく、目的・使用条件・最初の一手とセットで覚える。

さらに短くすると、

目的
↓
条件
↓
公式
↓
最初の一手

です。

数学は「公式を当てはめる科目」ではない

数学が苦手になると、

問題文の数字を、覚えた公式へ入れればよい

と考えやすくなります。

しかし、実際の問題では、

• どの数字を使うのか
• どの公式を選ぶのか
• 直接代入できるのか
• 先に別の値を求めるのか
• 図や式へ変換するのか

を判断しなければなりません。

例えば、速さの公式として、

速さ＝距離÷時間

を覚えていても、文章題では、

• 誰の速さを求めるのか
• 距離はどの区間か
• 時間の単位はそろっているか
• 途中で速さが変わっていないか
• 往復なのか片道なのか

を確認する必要があります。

公式は正しくても、問題の構造を読み違えれば解けません。

公式を覚えただけの状態とは

公式暗記だけの状態には、次のような特徴があります。

• 公式を口頭で言える
• 教科書と同じ例題なら解ける
• 数字が変わると迷う
• 問題文が長くなると止まる
• どの公式を使うか分からない
• 解説の一行目を見れば解ける
• 単元名が書かれていないと判断できない

この状態は、

公式を知っているが、使う判断ができない

状態です。

学習には次の段階があります。

公式を見たことがある
↓
公式を覚えている
↓
例題で使える
↓
問題を見て公式を選べる
↓
複数の公式を組み合わせられる
↓
初めて見る問題でも判断できる

テストで必要なのは、少なくとも「問題を見て公式を選べる」段階です。

公式を覚えても解けない原因1．公式の目的を理解していない

公式には、それぞれ目的があります。

例えば、

三角形の面積＝底辺×高さ÷2

は、三角形の面積を求めるための公式です。

しかし、問題によっては面積が与えられ、高さを求めることもあります。

その場合は、

面積＝底辺×高さ÷2

から、高さを逆算します。

公式を一方向でしか覚えていないと、

面積を求める問題では使えるが、高さを求める問題では使えない

という状態になります。

対策

公式ごとに、次の3点を確認します。

この公式は何を表しているか
何を求めるために使えるか
逆にどの値を求められるか

公式を単なる文字列として覚えず、量同士の関係として理解します。

原因2．公式を使える条件を理解していない

公式は、どのような場合でも使えるとは限りません。

例えば、三平方の定理は、

a²＋b²＝c²

ですが、直角三角形で使う公式です。

直角がない三角形に、そのまま使うことはできません。

一次関数の式も、

y＝ax＋b

という形を覚えるだけでは足りません。

• 変化の割合が一定
• xとyの関係が一次式
• グラフが直線

という特徴を理解する必要があります。

対策

公式を覚えるときに、

使える条件
使えない条件
問題文で条件を見抜く言葉

をセットにします。

三平方の定理の例

目的：辺の長さを求める
条件：直角三角形
目印：直角、対角線、垂直
最初の一手：斜辺を確認する

このように整理すると、問題を見たときに使えるか判断しやすくなります。

原因3．問題がどの単元なのか判断できない

問題集では、単元ごとにページが分かれています。

「一次関数」のページなら、一次関数を使うと分かります。

「三平方の定理」のページなら、三平方の定理を使うと分かります。

しかし、定期テストや入試では、問題の上に単元名は書かれていません。

自分で、

この問題は何の問題か

を判断する必要があります。

例えば、

• 料金と使用量
• 時間と距離
• 水槽の水量
• グラフの変化

などが一次関数の問題として出されることがあります。

文章の表面は違っても、数学的な構造は同じです。

対策

問題を解いた後に、次を言葉にします。

この問題の単元は何か
どの言葉・条件から判断したか
似ている問題には何があるか

答えだけでなく、問題の分類を練習します。

原因4．最初の一手が分からない

数学では、途中の計算よりも、

最初に何をすればよいか

が分からず止まることがあります。

解説の一行目を見ると、その後は解ける場合もあります。

これは、計算力がないのではなく、開始判断ができていない状態です。

一次関数の例

問題を見たら、

変化の割合が分かるか
↓
通る点が分かるか
↓
y＝ax＋bへ代入する

と進みます。

方程式の文章題の例

何をxと置くか
↓
同じ量を二通りで表す
↓
等しい関係から方程式を作る

図形の証明の例

仮定を確認
↓
結論を確認
↓
合同条件を選ぶ
↓
必要な辺・角を探す

最初の一手を単元ごとに固定すると、問題を始めやすくなります。

原因5．例題の答えを覚えている

問題集を何周もすると、問題を見た瞬間に答えや途中式を思い出すことがあります。

そのため、

「解けるようになった」

と感じます。

しかし、数字や設定が変わると解けない場合は、解法ではなく答えの配置を覚えている可能性があります。

確認方法

問題を解いた後に、次を説明します。

• なぜこの公式を使ったのか
• 他の公式ではなぜだめなのか
• 最初にどの条件を見たのか
• 数字が変わっても同じ方法か
• 問題文が変わっても同じ型を見抜けるか

説明できなければ、答えを再生しているだけかもしれません。

原因6．解説を読んで分かった気になっている

数学の解説は、正しい順番で整理されています。

そのため、読むと簡単に感じます。

しかし、自分で解くときは、その順番をゼロから作らなければなりません。

解説を読む
↓
なるほどと思う
↓
次の問題へ進む

だけでは、判断練習が不足します。

正しい流れ

問題を自力で考える
↓
止まった場所を確認する
↓
解説を見る
↓
答えを閉じる
↓
最初から自力で解く
↓
数日後にもう一度解く

解説を見た直後は、短期的に内容を覚えています。

本当に理解したかは、少し時間を空けて確認します。

原因7．途中式を省略しすぎている

数学が得意な人の解答を見ると、途中式が少なく見えることがあります。

それを真似して省略すると、

• 符号を間違える
• 数字を写し間違える
• どこで変形したか分からなくなる
• 見直しできない

ことがあります。

途中式は、先生へ見せるためだけではありません。

自分の思考を外へ出し、ミスを減らすための記録

です。

書いたほうがよいもの

• 移項
• 分母を払う操作
• 展開
• 因数分解
• 公式への代入
• 単位変換
• 条件分け

慣れてから省略するのは構いませんが、ミスが多い段階では手順を残します。

原因8．計算力が不安定

解法が正しくても、計算で何度も間違えると正解できません。

よくあるミスは、

• 正負の符号
• 分数
• 小数
• 展開
• 因数分解
• 移項
• 約分
• ルート
• 指数

です。

応用問題ばかり解いても、計算の土台が不安定なら点数は上がりにくくなります。

対策

計算と解法判断を分けて練習します。

毎日10分
↓
基本計算
↓
間違いを種類別に分類
↓
同じ型を解き直す

「計算ミスをしないように気をつける」ではなく、

符号ミス
分数ミス
転記ミス
公式代入ミス

のように原因を特定します。

原因9．問題文を式へ変換できない

文章題では、日本語を数学の式へ変換する必要があります。

例えば、

ある数に3を加えると10になる

なら、

x＋3＝10

と表します。

しかし、文章が長くなると、

• 何をxとするか
• どの量が等しいか
• 何と何を比較するか

が分からなくなります。

対策

文章題では、いきなり式を書かずに情報を整理します。

何を求めるか
↓
分からない量をxと置く
↓
登場する量を表や図にする
↓
等しい関係を探す
↓
方程式を作る

原因10．図を描かずに考えている

図形、速さ、確率、場合の数などでは、頭の中だけで考えると情報を整理しにくくなります。

問題に図がなくても、自分で描くことが重要です。

図へ書き込むもの

• 分かっている長さ
• 求める長さ
• 角度
• 平行・垂直
• 移動方向
• 時刻
• 場合分け

きれいな図である必要はありません。

情報を目で見える形へ変えること

が目的です。

原因11．公式の導き方を知らない

すべての公式を毎回証明する必要はありません。

しかし、公式がどこから出てくるかを理解すると、忘れにくくなります。

例えば、台形の面積公式は、

（上底＋下底）×高さ÷2

です。

これを文字列として覚えるだけでなく、同じ台形を二つ組み合わせると平行四辺形になる、と理解すると意味が分かります。

公式を忘れたときにも、考え直せる可能性があります。

対策

重要な公式では、

なぜこの形になるか
図でどう説明できるか
以前の公式とどうつながるか

を一度確認します。

原因12．公式同士のつながりが見えていない

数学の公式は、完全に独立しているわけではありません。

例えば、一次関数では、

• 変化の割合
• 傾き
• 二点を通る直線
• グラフ
• 方程式

がつながっています。

二次関数では、

• 式
• グラフ
• 軸
• 頂点
• 最大・最小
• 方程式

が関係しています。

公式を一つずつ別々に覚えると、問題に合わせて組み合わせられません。

対策

単元ごとに関係図を作ります。

式
↓
グラフ
↓
特徴
↓
求められるもの
↓
使用する公式

公式を一覧にするだけでなく、何と何がつながっているか整理します。

原因13．簡単な問題から段階的に進んでいない

基礎が不安定なのに、学校の応用問題や入試問題へ進むと、使う公式を判断できません。

学習の階段は、

公式・定義
↓
教科書例題
↓
基本問題
↓
標準問題
↓
応用問題
↓
過去問

です。

教科書例題を自力で解けない段階なら、応用問題を大量に解くより、例題へ戻るほうが早い場合があります。

簡単な問題へ戻ることは逃げではありません。

判断に必要な基本パターンを作ること

です。

原因14．一問に長時間かけすぎている

数学では、考える時間も必要です。

しかし、一問に30分、1時間と止まり続けると、学習量が不足します。

特に、基礎知識がない問題は、長く考えても解法が出ないことがあります。

時間の区切り方

基本問題：2〜5分
標準問題：5〜10分
応用問題：10〜15分

など、自分なりの上限を決めます。

一定時間考えて方針が出なければ、

• 例題を見る
• ヒントを見る
• 解説を見る
• 質問する

へ進みます。

重要なのは、解説を見た後に自力で解き直すことです。

原因15．公式集を眺めるだけになっている

テスト前に公式一覧を見ることは役立ちます。

しかし、公式を見て、

「覚えている」

と感じるだけでは不十分です。

必要なのは、公式を思い出す練習と、問題で選ぶ練習です。

おすすめの確認方法

公式名だけを見て、

公式を書けるか
目的を説明できるか
使用条件を言えるか
典型問題を思い出せるか
最初の一手を言えるか

を確認します。

さらに、短い問題で実際に使います。

数学の公式を正しく覚える5点セット

公式は、次の5点と一緒に覚えます。

1．公式
2．目的
3．使用条件
4．問題の目印
5．最初の一手

例：三平方の定理

公式：a²＋b²＝c²
目的：直角三角形の辺を求める
条件：直角三角形
目印：直角、対角線、垂直
最初の一手：斜辺を確認する

例：一次関数

公式：y＝ax＋b
目的：xとyの一次的な関係を表す
条件：変化の割合が一定
目印：一定ずつ増減、直線、二点
最初の一手：傾きと通る点を確認する

例：速さ

公式：速さ＝距離÷時間
目的：速さ・距離・時間を求める
条件：それぞれの量が対応している
目印：移動、到着、出発、往復
最初の一手：単位と区間を確認する

この形で覚えると、実際の問題で使いやすくなります。

数学問題を見たときの5ステップ

数学の問題を開いたら、すぐ計算を始めるのではなく、次を確認します。

ステップ1．何を求めるか

問題の最後を確認します。

• xの値
• 面積
• 確率
• 最大値
• 証明
• グラフ

何を答えるのかを明確にします。

ステップ2．何が与えられているか

• 数値
• 式
• グラフ
• 図形条件
• 比
• 平行・垂直

を拾います。

ステップ3．どの単元・型か

過去に解いた基本問題と結びつけます。

ステップ4．何を使うか

公式、定理、考え方を選びます。

ステップ5．最初に何を書くか

式、図、表、文字設定などを決めます。

求めるもの
↓
条件
↓
単元
↓
道具
↓
最初の一手

この手順を毎回繰り返します。

数学の問題を○△×へ分類する

問題集を解いたら、正解・不正解だけで分けません。

○：迷わず解法を選び、自力で解けた
△：正解したが、公式選択や途中で迷った
×：解法が分からない、解説を見た

特に重要なのが△です。

答えが合っていても、

• 偶然公式を選んだ
• 時間がかかった
• 途中で何度も戻った

場合は、まだ安定していません。

二周目以降は、△と×へ集中します。

間違いを原因別に分類する

数学の間違いは、次のように分けられます。

知：公式・知識不足
条：使用条件の見落とし
型：問題の型を判断できない
初：最初の一手が出ない
計：計算ミス
読：問題文の読み違い
時：時間不足

例えば、

×初

なら、最初の一手が出なかった問題です。

△条

なら、条件判断に迷った問題です。

原因が分かれば、対策も決まります。

解き直しで確認すること

解き直しでは、答えを再現するだけでなく、次を確認します。

この問題は何の型か
どの条件へ注目するか
なぜこの公式を使うか
最初に何を書くか
どこで間違えやすいか

解法を一行でまとめます。

例

二点が与えられた一次関数
→ まず傾きを求め、点を代入して切片を出す

直角三角形の辺
→ 斜辺を確認して三平方の定理

割合の文章題
→ 基準量・割合・比較量を整理する

この一行が、次回の最初の一手になります。

同じ問題を何周すればよいか

全問題を同じ回数解く必要はありません。

1周目：全問題
2周目：△と×
3周目：まだ迷う問題
4周目：時間がかかる問題

と対象を絞ります。

完成基準は、

何周したか

ではなく、

問題を見て解法と最初の一手を自力で言えるか

です。

類題を解くことが重要

同じ問題だけを繰り返すと、答えを覚えることがあります。

理解を確認するには、類題を解きます。

類題とは、

• 数字が違う
• 聞かれ方が違う
• 図の向きが違う
• 条件の順番が違う
• 文章設定が違う

ものの、使う考え方は同じ問題です。

同じ公式を、異なる見た目の問題で使えるようにします。

中学数学で公式を使えないときの確認順

中学数学では、次の土台を確認します。

正負の数
↓
文字式
↓
方程式
↓
比例・反比例
↓
一次関数
↓
図形
↓
確率・資料

現在の問題で止まっている場合、前の単元が原因かもしれません。

例えば一次関数が苦手でも、実際には、

• 座標を読めない
• 方程式を解けない
• 分数計算で止まる

ことがあります。

現在の公式だけを覚え直すのではなく、必要な前提へ戻ります。

高校数学で公式を使えないときの確認順

高校数学では、公式が増え、問題の型も多くなります。

基本の流れは、

中学計算
↓
定義
↓
公式
↓
教科書例題
↓
基本問題
↓
標準問題
↓
入試問題

です。

高校数学では特に、

• 定義域
• 場合分け
• 文字の条件
• グラフ
• 証明

など、条件の確認が重要になります。

公式を覚えるときに、適用範囲を必ず確認します。

単元別・最初の一手の例

方程式

何をxと置くか
↓
等しい二つの量を探す
↓
方程式を作る

一次関数

傾きが分かるか
↓
通る点が分かるか
↓
y＝ax＋bへ代入

二次関数

何を求めるか
↓
式の形・定義域を確認
↓
平方完成・グラフを使う

図形の証明

仮定
↓
結論
↓
合同・相似条件
↓
必要な辺・角

確率

起こり得る全場合
↓
条件に合う場合
↓
漏れ・重複を確認

速さ

誰がどの区間を動くか
↓
単位をそろえる
↓
距離・速さ・時間を表にする

割合

基準量
↓
割合
↓
比較量

単元ごとに、最初の一手を短く持っておきます。

数学の一日学習モデル

基礎計算10分

分数、符号、展開などを練習します。

例題確認15分

公式の目的・条件・最初の一手を確認します。

問題演習30分

答えを見ずに解き、○△×を付けます。

解き直し15分

△と×を解き、解法を一行でまとめます。

計算
↓
理解
↓
演習
↓
解き直し

の順です。

数学の一週間モデル

月曜日

公式・定義と教科書例題。

火曜日

基本問題を解く。

水曜日

△と×を解き直す。

木曜日

数字や設定が違う類題を解く。

金曜日

最初の一手を口頭で高速確認する。

土曜日

標準問題・テスト形式へ進む。

日曜日

一週間の間違いを再確認する。

新しい問題を進める日と、判断を固める日を分けます。

保護者ができる数学学習の支援

保護者が問題の解き方をすべて教える必要はありません。

家庭で支援しやすいのは、次の質問です。

この問題は何を求めるの？

どの条件を使うの？

どの公式を使うと思う？

最初に何を書く？

どこまでは分かっている？

答えを教えるのではなく、考える順番を整理します。

保護者が避けたい声かけ

「公式を覚えていないから解けない」

↓

公式は分かっている？　使う条件で迷った？

「同じ問題を何回もやりなさい」

↓

答えではなく、最初の一手を説明できる？

「計算ミスに気をつけなさい」

↓

符号・分数・転記のどこで間違えた？

「解説をよく読みなさい」

↓

解説を閉じた後、最初から解ける？

「数学はセンスだから仕方ない」

↓

どの問題の型と判断手順がまだ分からない？

能力の問題として終わらせず、止まった工程を探します。

数学の公式を使えるようになるチェックリスト

次の項目を確認してみてください。

• 公式を何も見ずに書ける
• 公式の目的を説明できる
• 公式を使える条件を説明できる
• 使えない場合も分かる
• 問題の単元を判断できる
• 最初の一手を言える
• 教科書例題を自力で再現できる
• 数字が変わった類題を解ける
• 正解した問題にも△を付けている
• 解説を閉じて解き直している
• 計算ミスを種類別に分けている
• 図や表を使って情報を整理している
• 前提となる単元へ戻っている
• 数日後にも同じ判断ができる

当てはまらない項目が多い場合、公式の暗記量を増やす前に、目的・条件・最初の一手を整理する必要があります。

数学の公式を使えるようにする

公式は「覚えるもの」ではなく、「条件を見て選び、目的に合わせて使う道具」として学ぶ。

流れにすると、

何を求めるか
↓
条件は何か
↓
どの型か
↓
何を使うか
↓
最初に何を書くか
↓
計算する

です。

数学で手が止まったときは、

「どの公式だったか」

だけでなく、

何を求める問題なのか
どの条件を見落としているのか
最初に何を書けばよいのか

を確認してください。

学習塾フィンランドの数学指導

学習塾フィンランドでは、

神授業×神勉強法×少人数

を軸に、公式を一方的に暗記させるだけの数学指導は行いません。

基本的な流れは次のとおりです。

現在の答案・問題集を確認する
↓
どこで止まっているか分析する
↓
必要なら前の単元へ戻る
↓
公式の目的・条件を説明する
↓
教科書例題を自力で再現する
↓
問題を○△×へ分ける
↓
△と×を解き直す
↓
最初の一手を高速確認する
↓
類題・テスト問題で確認する

少人数制のため、生徒ごとに、

• 戻るべき計算・単元
• 覚える公式
• 公式を使う条件
• 問題の目印
• 最初の一手
• 書いて解く問題
• 口頭で確認できる問題
• 学校ワーク・受験問題集の進め方

を調整します。

水戸市で数学の公式の使い方から教える塾を探している方へ

学習塾フィンランドは、水戸市大工町にある少人数制の学習塾です。

中学生・高校生を中心に、

• 中学数学
• 高校数学
• 定期テスト対策
• 高校受験
• 大学受験
• 学校ワークの進捗管理
• 計算の学び直し
• 公式の使い分け
• 解法の最初の一手
• 高速回転学習

に対応しています。

次のような方は、公式をさらに暗記する前に、問題の判断手順を整理する必要があるかもしれません。

• 公式を覚えているのに問題を解けない
• 解説の一行目を見れば解ける
• 数字が変わると分からなくなる
• 文章題で式を作れない
• どの公式を使うか判断できない
• 途中式を省略してミスが多い
• 教科書例題は分かるがテストで解けない
• 数学の問題集を何周しても点数が上がらない

無料体験・学習相談

無料相談では、

• 現在の学年
• 数学の定期テスト・模試の得点
• 苦手な単元
• 計算力
• 公式の理解状況
• 学校ワークの進め方
• 問題集の正答率
• 解説を見ずに解けるか
• 文章題・図形・関数の状況
• 高校受験・大学受験の目標

などを確認します。

そのうえで、

どの単元へ戻り、どの公式を、どの条件・問題の型と結びつけるか

を整理します。

水戸市で、数学の公式を覚えても問題を解けない、文章題や関数で最初の一手が出ない、基礎から解法判断を身につけたいという方は、学習塾フィンランドまでご相談ください。